Progressão Geométrica: P.G

Definição

Entenderemos por progressão geométrica -PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Expressão do termo geral

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³
deduz-se que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.

Soma dos termos de uma P.A finita

Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n , vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n . q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + a_n é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Soma dos termos de uma P.G infinita

Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a_n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:





por: Gabi de Cássia