Conjuntos numéricos

A concepção dos conjuntos numéricos recebeu maior rigor em sua construção com Georg Cantor, que pesquisou a respeito do número infinito.

A construção de todos os conjuntos numéricos que hoje possuímos parte de números inteiros usados apenas para contar até os números complexos que possuem vasta aplicabilidade nas engenharias, nas produções químicas, entre outras áreas.
Definir conjunto é algo tão primitivo que se torna uma tarefa difícil. Entretanto, compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números, enfim, elementos com características semelhantes.

Sendo assim, os conjuntos numéricos são compreendidos como os conjuntos dos números que possuem características semelhantes. Nesta seção, a concepção desses conjuntos será abordada, visando à compreensão dos elementos que constituem cada um dos conjuntos numéricos.

Temos então os seguintes conjuntos numéricos:

        Conjunto dos números Naturais 

         Conjunto dos números Inteiros 

        Conjunto dos números Racionais 

         Conjunto dos números Irracionais 

        Conjunto dos números Reais 

       Conjunto dos números Complexos 

Assim como a progressão aritmética, a progressão geométrica (PG) é uma maneira de estabelecer uma seqüência de números. Neste caso, no entanto, em vez de uma soma como elemento constante, temos uma múltiplicação.

por: Gabi de Cássia

Sequências numéricas

Seqüência é todo conjunto ou grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma determinada ordem. 
• Seqüência finita é uma seqüência numérica na qual os elementos têm fim, como por exemplo, a seqüência dos números múltiplos de 5 maiores que 5 e menores que 35. 
• Seqüência infinita é uma seqüência que não possui fim, ou seja, seus elementos seguem ao infinito, por exemplo: a seqüência dos números naturais. 
Em uma sequencia numérica qualquer, o primeiro termo é representado por a₁, o segundo termo é a₂, o terceiro a₃ e assim por diante. Em uma seqüência numérica finita desconhecida, o último elemento é representado por an. A letra n determina o número de elementos da seqüência. 

Progressão Aritmética (P.A.)

DEFINIÇÃO DE PA

Progressão aritmética(P.A.) é uma seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, somado com uma constante chamada razão da progressão aritmética.

Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a₂ = a₁ + 1.r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. a_n = a₁ + (n – 1) . r
A expressão a_n = a₁ + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que a_n é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a₁ é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplo:

1 - Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a₁= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a₁₀₀₀. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a₁₀₀₀ = a₁ + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar..

Termo geral de sequência s numéricas

Quando queremos representar,calcular uma sequência matemática usamos a fórmula do

termo geral. É uma fórmula explicita em que n pode calcular a_n

A fórmula do termo geral defini qualquer termo de alguma sequência que for usar, pois é a lei de formação.

A letra n é usada para representar o número do termo na sequência ao seu valor.

Em uma P.A e P.G a fórmula do termo defini em cima da lei recursiva a_{n + 1} = a_n + r. , porém a

formula que usamos é . esse termo é da progressão aritmética, já a da

progressão geométrica é .

O termo geral de uma P.A finita , a partir do primeiro é .

Progressão Geométrica: P.G

Definição

Entenderemos por progressão geométrica -PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Expressão do termo geral

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³
deduz-se que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.

Soma dos termos de uma P.A finita

Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n , vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1 + a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n . q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + a_n é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Soma dos termos de uma P.G infinita

Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a_n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:





por: Gabi de Cássia

Aplicação da P.A e P.G na matemática financeira

Matemática financeira: P.A

No regime de capitalização a juros simples, os juros referentes a um único período, em
qualquer época são calculados sobre o capital inicial C. Aplicando a
fórmula dos juros simples

Observe que esse tipo de P.A. é sempre crescente,
uma vez que os valores do capital inicial e da taxa são sempre positivos, logo, o seu produto
também o será.

Matemática financeira: P.G 

No juros compostos, os juros para um único período, em uma
época qualquer, são calculados sobre o montante do período imediatamente
anterior à época considerada. Por exemplo, os juros relativos ao terceiro período é obtido
multiplicando-se o montante M2 do segundo período por i .

os juros compostos, é obtida a partir do capital inicial C multiplicando-se sempre  ao
do período anterior, caracterizando uma progressão geométrica, de primeiro termo a1 
razão q Æ 1 Å i . Observe que esse tipo de progressão geométrica será sempre crescente, uma
vez que a razão é sempre maior que 1.